5.1
ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
จุดประสงค์ เพื่อให้ผู้เรียนสามารถหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมและของจำนวนจริงได้
สาระสำคัญ
- เมื่อ A เป็นมุมแหลม อัตราส่วนตรีโกณมิติหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A หาได้จากอัตราส่วนความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
- เมื่อ q เป็นจำนวนจริงหรือมุม ฟังก์ชันตรีโกณมิติของ q หาได้จากพิกัดของจุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว q วัดจากจุด ( 1,0 ) บนเส้นรอบวงของวงกลม 1 หน่วย
กิจกรรม 5.2.1 บทนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลม
B
C
c
b
a
A
เมื่อ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่ มุม C = 90° มุม A และมุม B จึงเป็นมุมแหลม
พิจารณามุม A ด้านตรงข้ามมุม A ได้แก่ BC ยาว a หน่วย
ด้านประชิดมุม A ได้แก่ AC ยาว b หน่วย
ด้านตรงข้ามมุมฉาก ได้แก่ AB ยาว c หน่วย
พิจารณามุม B ด้านตรงข้ามมุม B ได้แก่ … ยาว b หน่วย (1)
ด้านประชิดมุม B ได้แก่ … ยาว … หน่วย (2)
ด้านตรงข้ามมุมฉาก C ได้แก่ … ยาว … หน่วย (3)
อัตราส่วนของความยาวด้านมีชื่อเรียกต่างกันดังนี้
sin A =
ด้านตรงข้ามมุม Aด้านตรงข้ามมุมฉาก
ด้านประชิดมุม A
cos A =
ด้านตรงข้ามมุมฉากtan A =
ด้านตรงข้ามมุม Aด้านประชิดมุม A
จากสามเหลี่ยมมุมฉาก 45° และบทนิยามข้างต้น
1
45°
1
sin 45° =
cos 45° = … (4)
tan 45° = … (5)
จากสามเหลี่ยมมุมฉาก 30° - 60°
60°
30°
1
2
sin 30° = sin 60° = ……. (6)
cos 30° = cos60° =……. (7)
tan 30° = tan 60° =……. (8)
กิจกรรม 5.2.2 บทนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งเป็นส่วนกลับต่อกัน
มีอัตราส่วนตรีโกณมิติอื่นอีกรวมเป็น 3 คู่ โดยแต่ละคู่ต่างเป็นส่วนกลับต่อกัน ( ส่วนกลับของ x ได้แก่ ) ดังนี้
cosec A = หรือ sin A =
cot A = หรือ tan A = …….. (9)
sec A = หรือ cos A = ..…… (10)
ความสัมพันธ์ระหว่างมุมเป็นองศาและมุมเป็นเรเดียน
เรเดียน = 180 องศา
เรเดียน = 60 องศา
เรเดียน = …… องศา (11)
กิจกรรม 5.2.3 วงกลม 1 หน่วยและบทนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ
วงกลม 1 หน่วย คือวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ (0 , 0) และรัศมียาว 1 หน่วย
มีสมการเป็น x2 + y2 = 1 และมีรูปดังนี้
y
(0,1)
(0,0)
(-1,0)
(1,0)
x
(0,-1)
จากสูตรความยาวเส้นรอบวง =
รัศมีวงกลมยาว 1 หน่วย ย่อมหาความยาวเส้นรอบวงได้
เส้นรอบวงยาว = 2p (1) = 2p หน่วย
ให้สังเกตความยาวส่วนโค้ง และพิกัดจุดปลายของ p , , , และ
( )
(0,-1)
q
วงกลม 1 หน่วยP(x , y)
q
มีลักษณะที่สำคัญอย่างหนึ่ง คือ
“มุมที่จุดศูนย์กลาง q เรเดียนมีค่าเท่ากับความยาวของส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้นยาว
q หน่วย”
บทนิยาม ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายของส่วนโค้ง q บนวงกลม 1 หน่วย
sin q = y cosecq = (y ¹ 0)
cosq = x secq = (x ¹ 0)
tanq = (x ¹ 0) cotq = (y ¹ 0)
เมื่อสังเกตจะพบว่า
tanq = เอ… อย่างอื่นมีอีกไหม …
cot q = ………. (11)
เมื่อต้องการหาค่าฟังก์ชันของมุมหรือจำนวนจริง
0 , , p ,
(0,1)
(0,-1)
(1,0)
(-1,0)
ให้อาศัยพิกัดของจุด
(1 , 0) , (0 , 1) , (-1 , 0) , (0 , -1) ตามลำดับ
( )
หรือ 45° ; x = y
sin = , cos = …. (12)
sin = , cos = …. (13)
หรือ 60° ; x =
( )
sin = , cos = …. (14)
sin = , cos = …. (15)
( )
q = หรือ 30° ; y =
sin = , cos =
sin = , cos = …. (16)
เทคนิคการจำค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ( อาจข้ามไปก่อน )
เทคนิคการจำและส่วนเพิ่มเติม ถ้าผู้ศึกษามีหลักดีแล้วอาจข้ามไปได้เลย
แบบ 1
q = ;
x = y = =
q = ;
x = , y =
q = ;
x = , y =
(2) เรียงจากล่าง 0,1,2,3,4
(3) ถอดรากสองแล้วหารด้วย 2
แบบ 2
, (0 , 4) ® () = (0 , 1)
, (1 , 3) ® () = ()
, (2,2) ®() = ()
, (3 ,1) ®() = ()
0 , (4 , 0) ®() = (1 , 0)
(3) ถอดรากสองแล้วหารด้วย 2
(2) เรียงจากล่าง 0, 1, 2, 3, 4
(1) เรียงจากบน 0,1,2,3,4
แบบ 3
x
(-1,0)
-
(0 , 1)(1,0)
y
sinq = y
cosq = x
(0,-1)
ค่า y เป็นบวก เมื่อ q อยู่ในจตุภาคที่ 1, 2
ค่า y เป็นลบ เมื่อ q อยู่ในจตุภาคที่ 3, 4
ค่า x เป็นบวก เมื่อ q อยู่ในจตุภาคที่ 1, 4
ค่า x เป็นบวก เมื่อ q อยู่ในจตุภาคที่ 2, 3
เพิ่มเติม
Y
อาศัยความรู้วงกลม 1 หน่วยและสามเหลี่ยมคล้ายP( x,y )
ถ้า P = (x,y ) และ CP = r ย่อมได้ว่าr
sin q =x
C
q
cos q =tan q = ( x 0 )
* x = 0 ค่าของ tan q ไม่นิยาม *
45° D มุมฉาก 30°
sin A : ข้าม / ฉาก
cos A : ชิด / ฉาก
tan A : ข้าม / ฉาก
600
2
30°
1
1
D มุมฉาก1
45°
กิจกรรม 5.2.4 สูตรตรีโกณมิติเบื้องต้น
เนื่องจาก x2 + y2 = 1 และ sin q = y , cos q = x
จึงได้สูตรเบื้องต้น
sin2q + cos2q = 1
cos2q = 1 - sin2q
sin2q = …… (17)
นอกจากนั้น sin (-q) = - sin q
cos (-q) = cos q
tan (-q) = …… (18)
sin2x = ( sin x )2 ไซน์ x ทั้งหมดยกกำลังสอง
sin x2 ( sin x )2 ไซน์ ของ x กำลังสอง
sin x2 x sin x
ระวังนะ
แบบฝึกท้ายเรื่อง 5.2 ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- sin cos - sin2 30° = (…..) (…..) - (…..)2
= ……
2. cos+ tan – cot 30° = 2() + 1…….
= ……..
3. sin = -sin = …..
4. cos = ……… = …………
ข้อควรระวัง
h = , =
h ไม่เขียน -1 x = แต่
เขียน (-1) =
หรือ (-1) x =