Custom Search

วันพุธที่ 22 กรกฎาคม พ.ศ. 2552

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

5.1

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

 

จุดประสงค์  เพื่อให้ผู้เรียนสามารถหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมและของจำนวนจริงได้

 

สาระสำคัญ

  1. เมื่อ เป็นมุมแหลม  อัตราส่วนตรีโกณมิติหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม หาได้จากอัตราส่วนความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
  2. เมื่อ q เป็นจำนวนจริงหรือมุม  ฟังก์ชันตรีโกณมิติของ q  หาได้จากพิกัดของจุดปลายของส่วนโค้งซึ่งยาว วัดจากจุด ( 1,0 ) บนเส้นรอบวงของวงกลม  หน่วย

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

กิจกรรม 5.2.1               บทนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลม

B

C

c

b

a

A

เมื่อ ABC  เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่ มุม C = 90° มุม A และมุม B จึงเป็นมุมแหลม

    

 

 

 

พิจารณามุม  A               ด้านตรงข้ามมุม  A              ได้แก่  BC  ยาว  หน่วย

ด้านประชิดมุม A                 ได้แก่  AC  ยาว หน่วย

ด้านตรงข้ามมุมฉาก                ได้แก่  AB  ยาว  หน่วย

พิจารณามุม  B               ด้านตรงข้ามมุม                  ได้แก่  …  ยาว  หน่วย                            (1)

              ด้านประชิดมุม B                     ได้แก่  ยาว …  หน่วย                            (2)

              ด้านตรงข้ามมุมฉาก C               ได้แก่  …  ยาว  หน่วย                            (3)

              อัตราส่วนของความยาวด้านมีชื่อเรียกต่างกันดังนี้

sin A  =

                                          ด้านตรงข้ามมุม A

                                          ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ด้านประชิดมุม A

cos A  =

                                          ด้านตรงข้ามมุมฉาก

tan A  =

              ด้านตรงข้ามมุม A

                                          ด้านประชิดมุม A

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก  45°  และบทนิยามข้างต้น

1

45°

1

 

 

sin  45°

cos 45° =  …                                          (4)

tan 45°  = …                                          (5)

             

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก  30° - 60°

60°

30°

1

2

 

 

sin  30°                            sin 60° = …….                 (6)

cos 30°               cos60° =…….    (7)

tan 30°  =                tan 60° =…….    (8)

 

 

กิจกรรม  5.2.2  บทนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งเป็นส่วนกลับต่อกัน

มีอัตราส่วนตรีโกณมิติอื่นอีกรวมเป็น 3 คู่  โดยแต่ละคู่ต่างเป็นส่วนกลับต่อกัน           ( ส่วนกลับของ ได้แก่  ดังนี้

 

              cosec A  =                 หรือ              sin A  =

cot A =                             หรือ              tan A  =   ……..               (9)

sec A =                             หรือ              cos A  =  ..……                 (10)

 

                            ความสัมพันธ์ระหว่างมุมเป็นองศาและมุมเป็นเรเดียน

                                          เรเดียน                            =               180               องศา

                                          เรเดียน                            =                 60               องศา

              เรเดียน                            =               ……               องศา                            (11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

กิจกรรม 5.2.3  วงกลม 1 หน่วยและบทนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ

วงกลม  หน่วย  คือวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ (0 , 0) และรัศมียาว  หน่วย

             มีสมการเป็น  x2 + y2 = 1  และมีรูปดังนี้

y

(0,1)

(0,0)

(-1,0)

(1,0)

x

(0,-1)

 

 

จากสูตรความยาวเส้นรอบวง =

รัศมีวงกลมยาว 1 หน่วย  ย่อมหาความยาวเส้นรอบวงได้

เส้นรอบวงยาว  =  2p (1)  =  2p  หน่วย









ให้สังเกตความยาวส่วนโค้ง  และพิกัดจุดปลายของ   p   , ,   และ 











                      

 



(           )













                                                                         



(0,-1)





































 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

                                                   วงกลม  หน่วย





P(x , y)

q

 

 

 

มีลักษณะที่สำคัญอย่างหนึ่ง คือ

มุมที่จุดศูนย์กลาง  q  เรเดียนมีค่าเท่ากับความยาวของส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้นยาว

q หน่วย

 

บทนิยาม               ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายของส่วนโค้ง  q  บนวงกลม 1 หน่วย

                            sin q  = y                                          cosecq =                     (y ¹ 0)

cosq = x                                          secq     =                     (x ¹ 0)

tanq        (x ¹ 0)                            cotq      =          (y ¹ 0)

 

เมื่อสังเกตจะพบว่า 

tanq                   เอ…                 อย่างอื่นมีอีกไหม 

cot q  = ……….   (11)

เมื่อต้องการหาค่าฟังก์ชันของมุมหรือจำนวนจริง

0  ,  , p ,

(0,1)



(0,-1)

(1,0)

                           

(-1,0)

                           



ให้อาศัยพิกัดของจุด 

                            (1 , 0)  , (0 , 1) , (-1 , 0) , (0 , -1)  ตามลำดับ

 

 

 

 

 

 

 

(              )

  หรือ  45°  ;  x = y

 





                             



                            sin   =       ,  cos   = ….              (12)

                            sin =   ,  cos = ….              (13)

 

 

 

  หรือ  60°  ;  x =

 

(             )    





                           



                            sin   =       ,  cos   = ….              (14)

                            sin =   ,  cos = ….              (15)

 

 

 

    (            )



                            



                            q  หรือ  30°  ;  y =



                            sin   =       ,  cos   =

 

                            sin =   ,  cos = ….                            (16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           เทคนิคการจำค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ                         ( อาจข้ามไปก่อน )

 

เทคนิคการจำและส่วนเพิ่มเติม ถ้าผู้ศึกษามีหลักดีแล้วอาจข้ามไปได้เลย

แบบ 1

                                                       

q      ;                                                       

                           x = y  =  =                                          

 

q     ;                                               

x = ,  y =                            

 

                            q     ;                                                

              x =   ,  y  =

(2) เรียงจากล่าง  0,1,2,3,4

(3) ถอดรากสองแล้วหารด้วย 2

แบบ 2

,  (0 , 4) ® ()  = (0 , 1)

,  (1 , 3) ® () = ()

,  (2,2) ®() = ()

,  (3 ,1) ®()  = ()

0 ,   (4 , 0) ®()  =  (1 , 0)

(3) ถอดรากสองแล้วหารด้วย 2

(2) เรียงจากล่าง 0, 1, 2, 3, 4

                           

    (1) เรียงจากบน 0,1,2,3,4

                                                       

 

 

 

 

แบบ 3

 

                                                                                   

x

(-1,0)

-

                                           (0 , 1)

(1,0)

y

 

                                                                                    sinq  = y

                                                                                                                cosq = x

(0,-1)

                           

 

              ค่า y เป็นบวก  เมื่อ q  อยู่ในจตุภาคที่ 1, 2

ค่า y เป็นลบ    เมื่อ q  อยู่ในจตุภาคที่ 3, 4

              ค่า x เป็นบวก  เมื่อ q  อยู่ในจตุภาคที่ 1, 4

ค่า x เป็นบวก  เมื่อ q  อยู่ในจตุภาคที่ 2, 3

 

เพิ่มเติม

 

Y

              อาศัยความรู้วงกลม 1 หน่วยและสามเหลี่ยมคล้าย

P( x,y )

                                                        ถ้า P  =  (x,y )   และ   CP  = r  ย่อมได้ว่า

r

                                                                      sin q               

x

C

q

                                                                      cos q             

                                                                      tan q                                          ( x 0 )

                                                                      x   =   0  ค่าของ   tan q ไม่นิยาม   *

              45°                            D มุมฉาก  30°

                                                       

 

 

           sin  A                     :                   ข้าม / ฉาก

           cos A                   :                     ชิด / ฉาก

           tan  A                    :                   ข้าม / ฉาก

 

600

2

30°

1

1

             D   มุมฉาก

1

                                                                

45°

 

 

 

กิจกรรม 5.2.4              สูตรตรีโกณมิติเบื้องต้น

    เนื่องจาก  x2 + y2  =  1   และ  sin q  =  y  ,  cos q =  x

    จึงได้สูตรเบื้องต้น

              sin2q  +   cos2q   =  1

                                                           cos2q   =  1 - sin2q

                                                            sin2q   =  ……                            (17)

                   

นอกจากนั้น                            sin  (-q)   =   - sin q

                                                        cos (-q)   =   cos q

                                                        tan (-q)    =   ……                            (18)

 

 

sin2x   =  ( sin x )2  ไซน์ x ทั้งหมดยกกำลังสอง

sin x2   ( sin x )ไซน์ ของ x กำลังสอง

sin x2   x sin x

ระวังนะ             

                                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

แบบฝึกท้ายเรื่อง 5.2              ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

 

  1. sin cos -  sin2 30°     =  (…..) (…..)  -  (…..)2               

=  ……                                 

2.  cos+ tan – cot 30°     =   2() + 1…….                         

                                                        =  ……..              

3.  sin     =    -sin    =  …..                                 

                        4. cos        = ………        = …………                                   

 

   ข้อควรระวัง             

              h   =    ,    = 

                           



                            h ไม่เขียน   -1 x    =    แต่

                                  เขียน     (-1)    = 

                                      หรือ   (-1) x =