จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน

บทนำ

      จำนวนจินตภาพ i สร้างขึ้นมาเพื่อแก้ปัญหาของสมการ x2 = -1 โดยกำหนดว่า i2 = -1

      ดังนั้น  i2 = -1, i3 = -i, i4 = -1 หรือ i4n = 1, i4n + 1 = 1, i4n + 2 = 1, i4n + 3 = 1

      ข้อควรจำ i4n + i4n + 1 + i4n + 2 + i4n + 3 = 0

เรื่องทั่วๆไปของจำนวนเชิงซ้อน

      จำนวนเชิงซ้อน คือ จำนวนที่เขียนอยู่ในรูป a + bi เมื่อ a, b Î R หรือ C = {x| x = a + bi, a, b Î R} และมีสมบัติดังนี้

1.          การเท่ากัน      a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ  a = c และ b = d

2.          การบวก          (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

3.          การคูณ           (a + bi) . (c + di) = (ac - db) . (ad + bc)i

      จำนวนเชิงซ้อน z = a + bi อาจเขียนอีกรูปแบบหนึ่งคือ (a, b)

·     เรียก a ว่า ส่วนจริง (real part) ของ z เขียนแทนด้วย Re(z)

·     เรียก b ว่า ส่วนจิตภาพ (imaginary part) ของ z เขียนแทนด้วย Im(z)

·     ถ้า b = 0 แล้ว จะได้จำนวนจริง a นั่นเองกล่าวคือ R Ì C

·     ถ้า a = 0 แล้ว จะได้จำนวนจินตภาพ bi เรียกว่า จำนวนจิตภาพแท้ (pure imaginary number)

·     พิจารณา (bi)(di) = -bd นั่นคือ ผลคูณของจำนวนจินตภาพแท้สองจำนวนได้จำนวนจริงเสมอ

จำนวนเชิงซ้อนระนาบ เขียนได้ 2 แบบ

      เมื่อแกน X คือ แกนจริง, แกน Y คือ แกนจินตภาพ

X

 

Y

 

.(a,b)

 

X

 

Y

 

.(a,b)

 

 

 

 

 

 

 

สมบัติของระบบจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ z = (a, b) = a + bi

1.          สมบัติปิดของการบวก                                          z1, z2 Î C ดังนั้น z1 + z2 Î C

2.          สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้องการบวก                    z1, z2, z3 Î C ดังนั้น (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

3.          สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก คือ                       (0, 0)

4.          สมบัติการมีอินเวอร์สการบวก คือ                        (-a, -b) เป็นอินเวอร์สการบวกของ (a, b); z + (-z) = 0 + 0i = (-z) + z

5.          สมบัติการสลับที่ของการบวก                               z1, z2 Î C ดังนั้น z1 + z2 = z2 + z1

6.          สมบัติปิดของการคูณ คือ                                      z1, z2 Î C ดังนั้น z1z2 Î C

7.          สมบัติการมีอินเวอร์สการคูณ คือ                         , (a, b) ≠ (0, 0) เป็นอินเวอร์สการคูณของ (a, b)

o  ถ้า z = a + bi    อินเวอร์สการคูณของ

o  z-1 =  .  =  =

o  z . z-1 = 1 + 0i = z-1 . z

8.          สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการคูณ                   z1, z2, z3 Î C ดังนั้น (z1z2)z3 = z1(z2z3)

9.          สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ คือ                         (1, 0)

10.    สมบัติการสลับที่การคูณ                                          z1, z2 Î C ดังนั้น z1z2 = z2z1

11.    สมบัติการแจกแจง                                                   z1, z2, z3 Î C ดังนั้น z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

ค่าสัมบูรณ์ และสังยุค

      ค่าสัมบูรณ์ (Absolute value) ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi เขียนแทนด้วย

                   โดย

                   ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi คือ ระยะทางจากจุด (0, 0) ถึงจุด (a, b)

             สังยุค (Conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi คือ a – bi เขียนแทนด้วย

                   ผลคูณของ z กับ  ใดๆ จะได้จำนวนจิงบวกหรือศูนย์เสมอ

             สมบัติของสังยุกคและค่าสัมบูรณ์

·      ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนจริงเท่านั้น และ  เสมอ

·       และ

·       และ  เสมอ เมื่อ n Î I+

·     

·      และ

·       และ

·       มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอและ

·     

      การเปรียบเทียบจำนวนเชิงซ้อน

      ถ้า z1 = a + bi, b ≠ 0 และ z2 = c + di, d ≠ 0 แล้วเราไม่อาจเปรียบเทียบได้ว่าจำนวนใดมากกว่าหรือน้อยกว่ากัน เช่น เราบอกไม่ได้ว่า 3 + 4i มากกว่าหรือน้อยกว่า 2 + 2i บอกได้แต่เพียงว่า

บทประยุกต์ของค่าสัมบูรณ์ในเชิงกราฟ

      กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = x + yi เมื่อ x, y Î R ถ้า r, h และ k เป็นจำนวนจริงแล้ว

1.           หมายถึงสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0, 0) และรัศมีเท่ากับ r

2.           หมายถึงสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h, 0) และรัศมีเท่ากับ r

3.           หมายถึงสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0, k) และรัศมีเท่ากับ r

4.           หมายถึงสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h, k) และรัศมีเท่ากับ r

X

 

Y

 

Z(a,b)

 

q

 

0

 

การแทนจำนวนเชิงซ้อนในรูปพิกัดเชิงขั้ว

      ให้ z = a + b โดยที่ z ≠ 0 เขียนแทน z ด้วยเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนได้ดังนี้

  

 

 

 

 

 

 

      เมื่อกำหนดให้ q เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางด้านบวกไปยัง  และให้ r =

      r =  =

      tan q = b/a

      sin q = b/r หรือ b = r sin q

      cos q = a/r ฟรือ a = r cos q

      จาก z = a + bi = r cos q + ri sin q = r(cos q + i sin q)

      จะได้ว่า r[cos (q + 2kπ) + i sin (q + 2kπ)] เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

      การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนรูปเชิงขั้ว

             กำหนด z1 = r1(cos q1 + i sin q1) และ z2 = r2(cos q2 + i sin q2)

1.          z1.z2 = r1r2[cos(q1 + q2) + i sin(q1 + q2)]

2.           =  [cos(q1 - q2) + i sin(q1 - q2)], z2 ≠ 0

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ (De Moivre’s Theorem)

      กำหนด z = r(cos q + i sin q) และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

      zn = rn(cos q + i sin q)

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

1.          ให้ x และ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ n เป็นจำนวนเต็มบวก x เป็นรากที่ n ของ z ก็ต่อเมื่อ xz = n

2.          ถ้า z = r(cos q + i sin q), z ≠ 0 แล้วรากที่ n ของ z มีทั้งหมด n รากที่แตกต่างกันคือ

     

      เมื่อ k Î {0, 1, 2, 3,…,(n - 1)}

สมการพหุนามตัวแปรเดียว

      สมการพหุนามกำลัง n ตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป

             anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

      เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ a0, a1, …, an เป็นจำนวนจริงที่ an ≠ 0

      ทฤษฎีบท

      หลักมูลทางพีชคณิต (The Fomdamental therem of algebra) สำหรับสมกาพหุนามกำลัง n ตัวแปรเดียว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีรากของสมการอย่างน้อย 1 ราก

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

      เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก; an, an - 1, an – 2, …, a1, a0 เป็นจำนวนจริงที่ an ≠ 0 ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ แล้วจะได้เศษที่เหลือจากการหารนั้นเท่ากับ f(c)

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

      f(x) เป็นพหุนามกำลัง n จะมี x – c เป็นตัวประกอบได้ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0

ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ

      f(x) เป็นพหุนามกำลัง n ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มถ้า  เป็นตัวประกอบของพหุนาม f(x) โดยที่ k และ m เป็นจำนวนเต็มซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว m จะเป็นตัวประกอบของ an และ k จะเป็นตัวประกอบของ a0

สมการพหุนามกำลัง n

      anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

      เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก an, an - 1, an – 2, …, a1, a0 เป็นจำนวนจริงที่ an ≠ 0 ถ้า a + bi เป็นคำตอบของสมการด้วย เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงโดยที่ b ≠ 0

 

 

จำนวนเชิงซ้อน

บทนำ

      จำนวนจินตภาพ i สร้างขึ้นมาเพื่อแก้ปัญหาของสมการ x2 = -1 โดยกำหนดว่า i2 = -1

      ดังนั้น  i2 = -1, i3 = -i, i4 = -1 หรือ i4n = 1, i4n + 1 = 1, i4n + 2 = 1, i4n + 3 = 1

      ข้อควรจำ i4n + i4n + 1 + i4n + 2 + i4n + 3 = 0

เรื่องทั่วๆไปของจำนวนเชิงซ้อน

      จำนวนเชิงซ้อน คือ จำนวนที่เขียนอยู่ในรูป a + bi เมื่อ a, b Î R หรือ C = {x| x = a + bi, a, b Î R} และมีสมบัติดังนี้

1.          การเท่ากัน      a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ  a = c และ b = d

2.          การบวก          (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

3.          การคูณ           (a + bi) . (c + di) = (ac - db) . (ad + bc)i

      จำนวนเชิงซ้อน z = a + bi อาจเขียนอีกรูปแบบหนึ่งคือ (a, b)

·     เรียก a ว่า ส่วนจริง (real part) ของ z เขียนแทนด้วย Re(z)

·     เรียก b ว่า ส่วนจิตภาพ (imaginary part) ของ z เขียนแทนด้วย Im(z)

·     ถ้า b = 0 แล้ว จะได้จำนวนจริง a นั่นเองกล่าวคือ R Ì C

·     ถ้า a = 0 แล้ว จะได้จำนวนจินตภาพ bi เรียกว่า จำนวนจิตภาพแท้ (pure imaginary number)

·     พิจารณา (bi)(di) = -bd นั่นคือ ผลคูณของจำนวนจินตภาพแท้สองจำนวนได้จำนวนจริงเสมอ

จำนวนเชิงซ้อนระนาบ เขียนได้ 2 แบบ

      เมื่อแกน X คือ แกนจริง, แกน Y คือ แกนจินตภาพ

X

 

Y

 

.(a,b)

 

X

 

Y

 

.(a,b)

 

 

 

 

 

 

 

สมบัติของระบบจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ z = (a, b) = a + bi

1.          สมบัติปิดของการบวก                                          z1, z2 Î C ดังนั้น z1 + z2 Î C

2.          สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้องการบวก                    z1, z2, z3 Î C ดังนั้น (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

3.          สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก คือ                       (0, 0)

4.          สมบัติการมีอินเวอร์สการบวก คือ                        (-a, -b) เป็นอินเวอร์สการบวกของ (a, b); z + (-z) = 0 + 0i = (-z) + z

5.          สมบัติการสลับที่ของการบวก                               z1, z2 Î C ดังนั้น z1 + z2 = z2 + z1

6.          สมบัติปิดของการคูณ คือ                                      z1, z2 Î C ดังนั้น z1z2 Î C

7.          สมบัติการมีอินเวอร์สการคูณ คือ                         , (a, b) ≠ (0, 0) เป็นอินเวอร์สการคูณของ (a, b)

o  ถ้า z = a + bi    อินเวอร์สการคูณของ

o  z-1 =  .  =  =

o  z . z-1 = 1 + 0i = z-1 . z

8.          สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการคูณ                   z1, z2, z3 Î C ดังนั้น (z1z2)z3 = z1(z2z3)

9.          สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ คือ                         (1, 0)

10.    สมบัติการสลับที่การคูณ                                          z1, z2 Î C ดังนั้น z1z2 = z2z1

11.    สมบัติการแจกแจง                                                   z1, z2, z3 Î C ดังนั้น z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

ค่าสัมบูรณ์ และสังยุค

      ค่าสัมบูรณ์ (Absolute value) ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi เขียนแทนด้วย

                   โดย

                   ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi คือ ระยะทางจากจุด (0, 0) ถึงจุด (a, b)

             สังยุค (Conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi คือ a – bi เขียนแทนด้วย

                   ผลคูณของ z กับ  ใดๆ จะได้จำนวนจิงบวกหรือศูนย์เสมอ

             สมบัติของสังยุกคและค่าสัมบูรณ์

·      ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนจริงเท่านั้น และ  เสมอ

·       และ

·       และ  เสมอ เมื่อ n Î I+

·     

·      และ

·       และ

·       มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอและ

·     

      การเปรียบเทียบจำนวนเชิงซ้อน

      ถ้า z1 = a + bi, b ≠ 0 และ z2 = c + di, d ≠ 0 แล้วเราไม่อาจเปรียบเทียบได้ว่าจำนวนใดมากกว่าหรือน้อยกว่ากัน เช่น เราบอกไม่ได้ว่า 3 + 4i มากกว่าหรือน้อยกว่า 2 + 2i บอกได้แต่เพียงว่า

บทประยุกต์ของค่าสัมบูรณ์ในเชิงกราฟ

      กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = x + yi เมื่อ x, y Î R ถ้า r, h และ k เป็นจำนวนจริงแล้ว

1.           หมายถึงสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0, 0) และรัศมีเท่ากับ r

2.           หมายถึงสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h, 0) และรัศมีเท่ากับ r

3.           หมายถึงสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0, k) และรัศมีเท่ากับ r

4.           หมายถึงสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (h, k) และรัศมีเท่ากับ r

การแทนจำนวนเชิงซ้อนในรูปพิกัดเชิงขั้ว

      ให้ z = a + b โดยที่ z ≠ 0 เขียนแทน z ด้วยเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนได้ดังนี้

X

 

Y

 

Z(a,b)

 

q

 

0

 

  

 

 

 

 

 

 

      เมื่อกำหนดให้ q เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางด้านบวกไปยัง  และให้ r =

      r =  =

      tan q = b/a

      sin q = b/r หรือ b = r sin q

      cos q = a/r ฟรือ a = r cos q

      จาก z = a + bi = r cos q + ri sin q = r(cos q + i sin q)

      จะได้ว่า r[cos (q + 2kπ) + i sin (q + 2kπ)] เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

      การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนรูปเชิงขั้ว

             กำหนด z1 = r1(cos q1 + i sin q1) และ z2 = r2(cos q2 + i sin q2)

1.          z1.z2 = r1r2[cos(q1 + q2) + i sin(q1 + q2)]

2.           =  [cos(q1 - q2) + i sin(q1 - q2)], z2 ≠ 0

ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ (De Moivre’s Theorem)

      กำหนด z = r(cos q + i sin q) และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

      zn = rn(cos q + i sin q)

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

1.          ให้ x และ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ n เป็นจำนวนเต็มบวก x เป็นรากที่ n ของ z ก็ต่อเมื่อ xz = n

2.          ถ้า z = r(cos q + i sin q), z ≠ 0 แล้วรากที่ n ของ z มีทั้งหมด n รากที่แตกต่างกันคือ

     

      เมื่อ k Î {0, 1, 2, 3,…,(n - 1)}

สมการพหุนามตัวแปรเดียว

      สมการพหุนามกำลัง n ตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป

             anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

      เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ a0, a1, …, an เป็นจำนวนจริงที่ an ≠ 0

      ทฤษฎีบท

      หลักมูลทางพีชคณิต (The Fomdamental therem of algebra) สำหรับสมกาพหุนามกำลัง n ตัวแปรเดียว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีรากของสมการอย่างน้อย 1 ราก

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

      เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก; an, an - 1, an – 2, …, a1, a0 เป็นจำนวนจริงที่ an ≠ 0 ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ แล้วจะได้เศษที่เหลือจากการหารนั้นเท่ากับ f(c)

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

      f(x) เป็นพหุนามกำลัง n จะมี x – c เป็นตัวประกอบได้ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0

ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ

      f(x) เป็นพหุนามกำลัง n ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มถ้า  เป็นตัวประกอบของพหุนาม f(x) โดยที่ k และ m เป็นจำนวนเต็มซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว m จะเป็นตัวประกอบของ an และ k จะเป็นตัวประกอบของ a0

สมการพหุนามกำลัง n

      anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

      เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก an, an - 1, an – 2, …, a1, a0 เป็นจำนวนจริงที่ an ≠ 0 ถ้า a + bi เป็นคำตอบของสมการด้วย เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงโดยที่ b ≠ 0